Mathématiques Collège - Divisibilité et nombres premiers : j'ai juste oublié !

En arithmétique, on dit qu'un entier a est divisible par un entier b s'il existe un entier k tel que a = bk. On dit alors que a est un multiple de b, et que b divise a ou est un diviseur de a.

La relation de divisibilité se note à l'aide d'une barre verticale : b divise a se note b/a et ne doit pas se confondre avec le résultat de la division de a par b noté a/b.

Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Divisibilit%C3%A9 - https://math-coaching.com/ - https://www.alloprof.qc.ca/fr/eleves/bv/mathematiques

PrépaBrevet 3ème - Hatier

TERMES	DEFINITIONS
Dénominateur	Le dénominateur est le nombre au-dessous de la barre de fraction.
Divisibilité	Propriété qui indique qu'un nombre peut être entièrement divisé par un autre nombre, c'est-à-dire sans reste.
Nombre entier	Les nombres entiers sont des nombres qui s'écrivent sans virgule.
Numérateur	Le numérateur est le nombre au-dessus de la barre de fraction.
Produit	Le produit est le résultat d'une multiplication. Les nombres qui la composent sont les facteurs.

Multiples et diviseurs :

Multiples et diviseurs sont étroitement liés :

Si A est un multiple de B, alors B est un diviseur de A (A et B sont 2 nombres entiers).

Si la multiplication de A par B est égale à C, alors C est un multiple de A et B (A, B et C sont des nombres entiers).

Ex : 40 = 5 x 8 - 5 est un diviseur de 40. 40 est un multiple de 5 et de 8.

Critères de divisibilité :

Il existe des critères qui permettent de déterminer rapidement si un nombre est divisible par un nombre donné. On appelle ces critères les critères de divisibilité.

Liste des principaux critères de divisibilité.

Un nombre est divisible par 2 si le chiffre des unités est pair.

Règle : 1. Observer le chiffre à la position des unités. 2. Vérifier s'il est pair. 3. Si ce chiffre est pair, alors tout le nombre est divisible par 2.

Un nombre est divisible par 3 si la somme de tous les chiffres du nombre est divisible par 3.

Règle :

1. Additionner tous les chiffres du nombre,

2. Vérifier si cette somme est divisible par 3.

3. Si la somme est divisible par 3, alors le nombre est aussi divisible par 3.

Un nombre est divisible par 4 si le nb formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4.

Règle :

1. Observer le nombre formé par les deux derniers chiffres (dizaines et unités).

2. Vérifier si ce nombre est divisible par 4 ou s'il correspond à 00.

3. Si ce nombre est divisible par 4 ou s'il est 00, alors le nombre d'origine est divisible par 4.

Un nombre est divisible par 5 si le nb formé par les deux derniers chiffres est divisible par 5.

Règle :

1. Observer le chiffre à la position des unités.

2. Si le chiffre des unités est 0 ou 5, alors le nombre se divise par 5.

Un nombre est divisible par 6 si le nombre est divisible à la fois par 2 et par 3.

Règle :

1. Vérifier si le nombre est divisible par 2 (si le nombre est pair).

2. Vérifier si le nombre est divisible par 3 (la somme des chiffres est divisible par 3).

3. Si le nombre est divisible par 2 et par 3, alors le nombre est divisible par 6.

Un nombre est divisible par 8 si le nb formé de ses 3 derniers chiffres est divisible par 8.

Règle :

1. Observer le nombre formé par les trois derniers chiffres (centaines, dizaines et unités).

2. Vérifier si ce nombre est divisible par 8.

3. Si ce nombre est divisible par 8, alors le nombre d'origine est aussi divisible par 8.

Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

Règle :

1. Faire la somme des tous les chiffres du nombre.

2. Vérifier si cette somme est divisible par 9.

3. Si la somme est divisible par 9, alors le nombre d'origine est divisible par 9.

Un nombre est divisible par 10 si le dernier chiffre est 0.0.

Règle :

1. Observer le dernier chiffre du nombre (position des unités).

2. Si ce chiffre est 0, alors le nombre est divisible par 10.

Un nombre est divisible par 12 si le nombre est divisible à la fois par 3 et par 4.

Règle :

1. Vérifier si le nombre est divisible par 3.

2. Vérifier si le nombre est divisible par 4.

3. Si le nombre est divisible à la fois par 3 et par 4, alors le nombre est divisible par 12.

Un nombre est divisible par 25 si le nombre se termine par 00, 25, 50 ou 75.

Règle :

1. Observer les deux derniers chiffres du nombre d'origine (dizaines et unités)

2. Si les 2 derniers chiffres sont 0, 25, 50 ou 75, alors le nombre d'origine est divisible par 25.

Autres critères de divisibilité :

• Divisibilité par 14 : Un nb est divisible par 14 s'il est divisible à la fois par 2 et par 7.

• Divisibilité par 15 : Un nb est divisible par 15 s'il est divisible à la fois par 3 et par 5.

• Divisibilité par 20 : Un nb est divisible par 20 si le nombre formé de ses 2 derniers chiffres (dizaines et unités) est divisible par 20.

• Divisibilité par 100 : Un nombre est divisible par 100 s'il se termine par 0.

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En conclusion

Pour trouver les diviseurs d'un nombre, il faut écrire ce nombre sous la forme d'un produit de deux entiers (sous moults formes), en s'aidant des critères de divisibilité. On cherche si l'entier est divisible par 1, 2, 3 ,4 etc.

Exemple : Les diviseurs de 40.

40 x 1 = 40 - 40 est divisible par 1 et 40.

40 est un nombre pair et 40 = 2 x 20 donc 2 et 20 sont des diviseurs de 40.

La somme des chiffres de 40 est 4, donc 40 n'est pas divisible par 3

40 s'écrit aussi : 4 x 10 ou 5 x 8

Il n'y a plus d'entiers entre 5 et 8 qui divisent 40 ; donc les diviseurs de 40 sont 1, 2, 5, 8, 10, 20, 40.